Как называется 2 в 1


Как называется 2 в 1

Как называется 2 в 1

Как называется 2 в 1


Лучшие новости сайта

Разделы:

ВВЕДЕНИЕ

Методическое пособие предназначено дляпреподавателей математики в техникумах, а такжедля студентов второго курса, всехспециальностей.

В данной работе излагаются основные понятиятеории рядов. Теоретический материалсоответствует требованиям Государственногообразовательного стандарта среднегопрофессионального образования (Министерствообразования Российской Федерации. М., 2002г.).

Изложение теоретического материала по всейтеме сопровождается рассмотрением большогоколичества примеров и задач, ведется надоступном, по-возможности строгом языке. В концепособия приведены примеры и задания, которыестуденты могут выполнять в режиме самоконтроля.

Пособие предназначено для студентов заочной идневной форм обучения.

Учитывая уровень подготовки учащихсятехникума, а также крайне ограниченное числочасов (12 часов + 4 ф.), отводимое программой дляпрохождения высшей математики в техникумах,строгие выводы, представляющие большиетрудности для усвоения, опущены, ограничиваясьрассмотрением примеров.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Решение задачи, представленной вматематических терминах, например, в видекомбинации различных функций, их производных иинтегралов, нужно уметь “довести до числа”,которое чаще всего и служит окончательнымответом. Для этого в различных разделахматематики выработаны различные методы.

Раздел математики, позволяющий решить любуюкорректно поставленную задачу с достаточной дляпрактического использования точностью,называется теорией рядов.

Даже если некоторые тонкие понятияматематического анализа появились вне связи стеорией рядов, они немедленно применялись крядам, которые служили как бы инструментом дляиспытания значимости этих понятий. Такоеположение сохраняется и сейчас.

Выражение вида

,

где ;;;…;;… - члены ряда; - n-ый или общий членряда, называется бесконечным рядом (рядом).

Если члены ряда :

  • числа, то ряд называется числовым;
  • числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;
  • числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;
  • положительные числа, то ряд называется знакоположительным;
  • числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;
  • функции, то ряд называется функциональным;
  • степени, то ряд называется степенным;
  • тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.

I. Числовой ряд

1.1. Основные понятия числового ряда.

Числовым рядом называется сумма вида

, (1.1)

где ,,,…,,…, называемые членами ряда,образуют бесконечную последовательность; членназываетсяобщим членом ряда.

Суммы

…………..

,

составленные из первых членов ряда (1.1),называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставитьпоследовательность частичных сумм .

Если при бесконечном возрастании номера nчастичная сумма ряда стремится к пределу, то ряд называется сходящимся, ачисло -суммой сходящегося ряда, т.е.

и .

Эта запись равносильна записи

.

Если частичная сумма ряда (1.1) при неограниченномвозрастании n не имеет конечного предела(стремится к или ), тотакой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходящийся, то значение при достаточнобольшом n является приближеннымвыражением суммы ряда S.

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, тоего остаток стремится к нулю, т.е., и наоборот, если остатокстремится к нулю, то ряд сходится.

1.2. Примеры числовых рядов.

Пример 1. Ряд вида

(1.2)

называется геометрическим .

Геометрический ряд образован из членовгеометрической прогрессии.

Известно, что сумма её первых n членов . Очевидно: это n-аячастичная сумма ряда (1.2).

Возможны случаи:

:

.

Ряд (1.2) принимает вид:

,

, рядрасходится;

Ряд (1.2) принимает вид:

,

не имеетпредела, ряд расходится.

,

- конечноечисло, ряд сходится.

,

- рядрасходится.

Итак, данный ряд сходится при и расходится при .

Пример 2. Ряд вида

(1.3)

называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда:

.

Сумма больше суммы,представленной следующим образом:

или .

Если , то , или .

Следовательно, если , то ,т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 3. Ряд вида

(1.4)

называется обобщенным гармоническим.

Если , тоданный ряд обращается в гармонический ряд,который является расходящимся.

Если , точлены данного ряда больше соответствующихчленов гармонического ряда и, значит, онрасходится. При имеем геометрический ряд, в котором ; он являетсясходящимся.

Итак, обобщенный гармонический ряд сходитсяпри ирасходится при .

1.3. Необходимый и достаточные признакисходимости.

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд можетсходиться только при условии, что его общий член принеограниченном увеличении номера стремится к нулю: .

Если , торяд расходится – это достаточный признакрасходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда сположительными членами.

Признак сравнения рядов с положительнымичленами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены непревосходят соответствующих членов другого,заведомо сходящегося ряда; исследуемый рядрасходится, если его члены превосходятсоответствующие члены другого, заведоморасходящегося ряда.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

выполняется условие , то ряд сходится при и расходится при .

Признак Даламбера не дает ответа, если . В этом случаедля исследования ряда применяются другие приемы.

Упражнения.

Записать ряд по его заданному общему члену:

;

;

.

Решение.

Полагая ,,,…, имеем бесконечнуюпоследовательность чисел:

,,. Сложив его члены, получимряд

.

Поступая так же, получим ряд

.

Придаваязначения1,2,3,… и учитывая, что,,,…, получим ряд

.

Найти n-ый член ряда по его данным первымчленам:

;

.

Решение.

Знаменатели членов ряда, начиная с первого,являются четными числами; следовательно, n-ыйчлен ряда имеет вид .

Числители членов ряда образуют натуральный рядчисел, а соответствующие им знаменатели –натуральный ряд чисел, а соответствующие имзнаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с 3.Знаки чередуются по закону или по закону . Значит, n-й член рядаимеет вид . или .

Исследовать сходимость ряда, применяянеобходимый признак сходимости и признаксравнения:

;

;

.

Решение.

Находим .

Необходимый признак сходимости рядавыполняется, но для решения вопроса о сходимостинужно применить один из достаточных признаковсходимости. Сравним данный ряд с геометрическимрядом

,

который сходится, так как.

Сравнивая члены данного ряда, начиная совторого, с соответствующими членамигеометрического ряда, получим неравенства

т.е. члены данного ряда, начиная со второго,соответственно меньше членов геометрическогоряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

Имеем

.

Здесь выполняется достаточный признакрасходимости ряда; следовательно, рядрасходится.

Находим .

Необходимый признак сходимости рядавыполняется. Сравним данный ряд с обобщеннымгармоническим рядом

,

который сходится, поскольку, следовательно, сходится иданный ряд.

Исследовать сходимость ряда, используя признакДаламбера:

;

.

Решение.

Подставив в общий член ряда вместо n число n+1, получим. Найдемпредел отношения -го члена к n-му члену при :

.

Следовательно, данный ряд сходится.

Имеем

Значит, данный ряд расходится.

, т.е. рядрасходится.

II. Знакопеременный ряд

2.1 Понятие знакопеременного ряда.

Числовой ряд

называется знакопеременным, если средиего членов имеются как положительные, так иотрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся,если любые два стоящие рядом члена имеютпротивоположные знаки.

,

где длявсех (т.е. ряд,положительные и отрицательные члены которогоследуют друг за другом поочередно). Например,

;

;

.

Для знакочередующихся рядов имеет местодостаточный признак сходимости (установленный в1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).

2.2 Признак Лейбница. Абсолютная и условнаясходимость ряда.

Теорема (Признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если:

Последовательность абсолютных величин членовряда монотонно убывает, т.е. ;

Общий член ряда стремится к нулю:.

При этом сумма S ряда удовлетворяетнеравенствам

.

Замечания.

Исследование знакочередующегося ряда вида

(с отрицательным первым членом) сводится путемумножения всех его членов на к исследованию ряда .

Ряды, для которых выполняются условия теоремыЛейбница, называются лейбницевскими (илирядами Лейбница).

Соотношение позволяет получить простую и удобнуюоценку ошибки, которую мы допускаем, заменяясумму S данного ряда его частичной суммой .

Отброшенный ряд (остаток) представляет собойтакже знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньшепервого члена этого ряда, т.е.. Поэтому ошибка меньше модуля первого изотброшенных членов.

Пример. Вычислить приблизительно сумму ряда .

Решение: данный ряд Лейбницевского типа. Онсходится. Можно записать:

.

Взяв пять членов, т.е. заменивна

, сделаемошибку, меньшую,

чем. Итак,.

Для знакопеременных рядов имеет местоследующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд

.

Если сходится ряд

,

составленный из модулей членов данного ряда, тосходится и сам знакопеременный ряд.

Признак сходимости Лейбница длязнакочередующихся рядов служит достаточнымпризнаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютносходящимся, если сходится ряд, составленныйиз абсолютных величин его членов, т.е. всякийабсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, асоставленный из абсолютных величин его членовряд расходится, то данный ряд называется условно(неабсолютно) сходящимся.

2.3. Упражнения.

Исследовать на сходимость (абсолютную илиусловную) знакочередующийся ряд:

;

Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величинемонотонно убывают:

и

Следовательно, согласно признаку Лейбница, рядсходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютноили условно.

Ряд ,составленный из абсолютных величин данного ряда,является гармоническим рядом, который,расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

 

Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величинемонотонно убывают:

, но

.

Ряд расходится, так как признак Лейбница невыполняется.

;

Решение.

Используя признак Лейбница, получим

;,

т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютныхвеличин членов данного ряда:

.

Это геометрический ряд вида, где, который сходится. Поэтому данный рядсходится абсолютно.

;

Решение.

Используя признак Лейбница, имеем

;

, т.е. рядсходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютныхвеличин членов данного ряда:

, или

.

Это обобщенный гармонический ряд, которыйрасходится, так как. Следовательно, данный ряд сходитсяусловно.

III. Функциональный ряд

3.1. Понятие функционального ряда.

Ряд, членами которого являются функции от , называется функциональным:

.

Придавая определенное значение , получим числовой ряд

,

который может быть как сходящимся, так ирасходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкойсходимости функционального ряда; если же рядрасходится – точкой расходимостифункционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента , при которыхфункциональный ряд сходится, называется его областьюсходимости.

В области сходимости функционального ряда егосумма является некоторой функцией от :.

Определяется она в области сходимостиравенством

, где

- частичнаясумма ряда.

Пример. Найти область сходимости ряда .

Решение. Данный ряд является рядомгеометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно,этот ряд сходится при , т.е. при всех ; сумма ряда равна ;

, при .

3.2. Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида

,

где числа называются коэффициентами ряда, а член - общим членомряда.

Областью сходимости степенного ряданазывается множество всех значений , при которых данный рядсходится.

Число называется радиусомсходимости степенного ряда, если при ряд сходится ипритом абсолютно, а при ряд расходится.

Радиус сходимости найдем, используя признак Даламбера:

(не зависит от),

,

т.е. если степенной ряд сходится при любых ,удовлетворяющих данному условию и расходитсяпри .

Отсюда следует, что если существует предел

,

то радиус сходимости рядаравен этому пределу и степеннойряд сходится при , т.е. в промежутке , который называется промежутком(интервалом) сходимости.

Если , тостепенной ряд сходится в единственной точке .

На концах промежутка ряд может сходиться(абсолютно или условно), но может и расходиться.

Сходимость степенного ряда при и исследуется с помощьюкакого-либо из признаков сходимости.

3.3. Упражнения.

Найти область сходимости ряда:

;

Решение. Найдем радиус сходимости данногоряда:

.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходитсяна всей числовой оси.

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера.Для данного ряда имеем:

,,

.

Ряд абсолютно сходится, если или . Исследуем поведение ряда наконцах интервала сходимости.

При имеемряд , которыйсходится по признаку Лейбница.

При имеемряд- это тожесходящийся Лейбницевский ряд. Следовательно,областью сходимости исходного ряда являетсяотрезок.

.

Решение. Найдем радиус сходимости ряда:

.

Следовательно, ряд сходится при, т.е. при.

Приимеемряд, которыйсходится по признаку Лейбница.

Приимеемрасходящийся ряд

.

Следовательно, областью сходимости исходногоряда является промежуток.

IV. Разложение элементарных функций в рядМаклорена.

Для приложений важно уметь данную функцию разлагать встепенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммыстепенного ряда.

Рядом Тейлора для функции называется степенной рядвида

.

Если , тополучим частный случай ряда Тейлора

,

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимостиможно почленно дифференцировать и интегрироватьсколько угодно раз, причем полученные ряды имеюттот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать иумножать по правилам сложения и умножениямногочленов. При этом промежуток сходимостиполученного нового ряда совпадает с общей частьюпромежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

Вычислить значения функции и еепоследовательных производных в точке , т.е.,,,…,;

Составить ряд Маклорена, подставив значенияфункции и ее последовательных производных вформулу ряда Маклорена;

Найти промежуток сходимости полученного рядапо формуле

, .

Таблица, содержащая разложения в рядМаклорена некоторых элементных функций:

.

.

.

.

.

.

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию.

Решение. Так как , то, заменяя на в разложении ,получим:

, .

Пример 2. Выписать ряд Маклорена функции .

Решение. Так как , то воспользовавшись формулой , в которойзаменим на , получим:

,

или

,

если

, т.е..

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся формулой . Так как

, тозаменивнаполучим:

, или

,

где , т.е. .

V. Практические задания для самоконтролястудентов.

При помощи признака сравнения рядов установитьсходимость

или расходимость рядов:

.

.

.

.

.

Исследовать по признаку Даламбера сходимостьрядов:

.

.

.

.

.

Исследовать на сходимость (абсолютную илиусловную) знакочередующийся ряд:

.;

.;

.;

.;

.

Найти промежутки сходимости нижеследующихрядов и выяснить вопрос об их сходимости наконцах промежутков сходимости:

;

;

;

;

.

Используя разложения в ряд Маклорена функции,,,,разложить степенные ряды функции:

.

.

.

.

.

VI. Ответы

I.

  1. сходится;
  2. расходится;
  3. сходится;
  4. сходится;
  5. расходится;
  6. сходится;
  7. сходится;
  8. расходится;
  9. сходится;
  10. сходится.

II.

  1. cходится абсолютно;
  2. cходится абсолютно;
  3. cходится условно;
  4. cходится условно;
  5. cходится абсолютно.

III.

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. .

IV.

;

;

;

;

VII. Историческая справка.

Решение многих задач сводится к вычислениюзначений функций и интегралов или к решениюдифференциальных уравнений, содержащихпроизводные или дифференциалы неизвестныхфункций.

Однако точное выполнение указанныхматематических операций во многих случаяхоказывается весьма затруднительным илиневозможным. В этих случаях можно получитьприближенное решение многих задач с любойжелаемой точностью при помощи рядов.

Ряды представляют собой простой и совершенныйинструмент математического анализа дляприближенного вычисления функций, интегралов ирешений дифференциальных уравнений.

Теория рядов создавалась в тесной связи стеорией приближенного представления функций ввиде многочленов. Впервые это сделал И. Ньютон (1642– 1727). в 1676г. В его письме к секретарю ЛондонскогоКоролевского Общества появилась формула:

,

которую мы знаем как формулу бинома Ньютона.

Здесь мы видим функцию , представленную в видемногочлена. Но если число не является натуральным, вправой части равенства получается не полином, абесконечная сумма слагаемых, то есть ряд.

Развивая идею Ньютона, английский математикБрук Тейлор (1685 – 1731) в 1715г. доказал, что любойфункции, имеющей в точке производные всех порядков, можносопоставить ряд:

.

Мы не можем пока поставить знак равенства междуфункцией ,принимающей конечное значение для любогозначения , истоящим справа функциональным рядом.

Для того, чтобы вместо знака “” можно было поставитьзнак равенства, необходимо провести некоторыедополнительные рассуждения, связанные именно сбесконечностью числа слагаемых в правой частиравенства и касающиеся области сходимости ряда.

При формула Тейлора принимает вид, в которомназывается формулой Маклорена:

.

Колин Маклорен (1698 – 1746), ученик Ньютона, вработе “Трактат о флюксиях” (1742) установил, чтостепенной ряд, выражающий аналитическую функцию,- единственный, и это будет ряд Тейлора,порожденный такой функцией. В формуле биномаНьютона коэффициенты при степенях представляют собойзначения ,где .

Итак, ряды возникли в XVIII в. как способпредставления функций, допускающих бесконечноедифференцирование. Однако функция,представляемая рядом, не называлась его суммой, ивообще в то время не было еще определено, чтотакое сумма числового или функционального ряда,были только попытки ввести это понятие.

Например, Л. Эйлер (1707-1783), выписав для функциисоответствующий ей степенной ряд, придавалпеременной конкретное значение . Получался числовой ряд. Суммой этогоряда Эйлер cчитал значение исходной функции вточке . Но этоне всегда верно.

О том, что расходящийся ряд не имеет суммы,ученые стали догадываться только в XIX в., хотя вXVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, многоработали над понятиями сходимости ирасходимости. Эйлер называл ряд сходящимся, если его общийчлен стремится к нулю при возрастании .

В теории расходящихся рядов Эйлер получилнемало существенных результатов, однакорезультаты эти долго не находили применения. Ещев 1826г. Н.Г. Абель (1802 – 1829) называл расходящиесяряды “дьявольским измышлением”. РезультатыЭйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в.

В формировании понятия суммы сходящегося рядабольшую роль сыграл французский ученый О.Л. Коши(1789 – 1857); он сделал чрезвычайно много не только втеории рядов, но и теории пределов, в разработкесамого понятия предела. В 1826г. Коши заявил, чторасходящийся ряд не имеет суммы.

В 1768г. французский математик и философ Ж.Л.Д’Аламбер исследовал отношение последующегочлена к предыдущему в биномиальном ряде ипоказал, что если это отношение по модулю меньшеединицы, то ряд сходится. Коши в 1821г. доказалтеорему, излагающую в общем виде признаксходимости знакоположительных рядов, называемыхтеперь признаком Д’Аламбера.

Для исследования сходимости знакочередующихсярядов используется признак Лейбница.

Г.В. Лейбниц (1646 – 1716), великий немецкийматематик и философ, наряду с И. Ньютономявляется основоположником дифференциального иинтегрального исчисления.

Список литературы:

Основная:

  1. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М., “Высшая школа”, 1990 – 495 с.;
  2. Тарасов Н.П., Курс высшей математики для техникумов. М., “Наука”, 1971 – 448 с.;
  3. Зайцев И.Л., Курс высшей математики для техникумов. М., государственное издательство техникумов – теоретической литературы, 1957 - 339 с.;
  4. Письменный Д.Т., Курс лекций по высшей математике. М., “Айрис Пресс”, 2005, часть 2 – 256 с.;
  5. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 1975 – 872 с.;

Дополнительная:

  1. Гусак А.А., Высшая математика. В 2-х т., Т.2: Учебное пособие для студентов вузов. Мос., “ТетраСистемс”, 1988 – 448 с.;
  2. Григулецкий В.Г., Лукьянова И.В., Петунина И.А., Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2. Краснодар, 2002 – 348 с.;
  3. Григулецкий В.Г. и др. Задачник-практикум по математике. Краснодар. КГАУ, 2003 – 170 с.;
  4. Григулецкий В.Г., Степанцова К.Г., Гетман В.Н., Задачи и упражнения для студентов учетно-финансового факультета. Краснодар. 2001 – 173 с.;
  5. Григулецкий В.Г., Ященко З.В., Высшая математика. Краснодар, 1998 – 186 с.;
  6. Малыхин В.И., Математика в экономике. М., “Инфра-М”, 1999 – 356с.

Источник: http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/507571/



Как называется 2 в 1 фото



Как называется 2 в 1

Как называется 2 в 1

Как называется 2 в 1

Как называется 2 в 1

Как называется 2 в 1

Как называется 2 в 1

Как называется 2 в 1

Как называется 2 в 1

Как называется 2 в 1